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• Course title: Analyse 1
• Number of ECTS: 10
• Course code: BA_MATH_GEN-1
• Module(s): Module 1.1
• Language: FR
• Mandatory: Yes

Maîtriser les bases de l’analyse mathématiques et du raisonnement mathématique.

Maîtriser les bases de l’analyse et du raisonnement mathématique.
Les étudiants apprendront à connaître et à utiliser les bases de l’analyse : suites, fonctions réelles à une variable, développements de Taylor, et quelques bases sur des espaces métriques.��
Par ailleurs le cours et les exercices les aideront à acquérir les bases du raisonnement mathématique.
entiers, rationnels, nombres réels
suites de nombres réels
fonctions, limites de fonctions
continuité et dérivées
Intégrale de Riemann
développements de Taylor

First session
Midterm exam (40%), end of course assessment (60%) + Continuous assessment (for additional points).��
Retake exam
End of course assessment��
Absence plan
In case an exam in the continuous assessment plan cannot be taken (for a valid reason) the corresponding grade will not be taken into account in the final grade of the course.
Assessment rules: all electronic devices are forbidden during the midterm and final exam. Students can bring in 1 sheet (A4) of handwritten notes. They can only bring in the room at most 4 pens or pencils and an eraser.

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• 
  « Principles of Mathematical Analysis », Walter Rudin, MacGrawHill Ed. (traduction française: « Principes d’analyse mathématique », Ed. Dunod, traduction allemande « Analysis », Oldenbourg Verlag)


• « Mathématiques L1 » J-P. Marco L. Lazzarini, Ed. Pearson


• « Elementary Analysis (The Theory of Calculus) », Kenneth A. Ross, Springer Ed.

• Course title: Structures mathématiques
• Number of ECTS: 6
• Course code: BA_MATH_GEN-2
• Module(s): Module 1.2
• Language: FR
• Mandatory: Yes

Apprendre des fondements du langage mathématique et des techniques et structures de base. L’étudiant(e) ayant validé l’unité d’enseignement est capable de :

• Maîtriser les bases de la logique propositionnelle et des prédicats, y compris leurs applications aux démonstrations mathématiques��


• Manipuler les opérations fondamentales de la théorie des ensembles et appliquer les concepts d’équivalence et de cardinalité��


• Appliquer diverses techniques de démonstration mathématique (preuve directe, par contraposition, par contradiction, par récurrence, etc.)��


• Comprendre et utiliser les propriétés des relations d’ordre et des structures ordonnées��


• Maîtriser les concepts fondamentaux de l’arithmétique modulaire et leurs applications��


• Analyser les propriétés des permutations et leurs représentations��


• Identifier et manipuler les structures de groupe, incluant les homomorphismes et sous-groupes��


• Formuler rigoureusement des concepts mathématiques en utilisant le langage formel approprié

L’étudiant·e se familiarise avec les structures mathématiques qui reviennent de manière récurrente dans sa formation. Il s’approprie également différentes techniques de preuve, entraine ses capacités de raisonnement, sa rigueur mathématique et apprend à naviguer entre différentes représentations ou langages mathématiques.

• Logique propositionnelle classique
• Ensembles, prédicats, cardinal, relations, applications
• Techniques de démonstration
• Équivalence et ordres
• Arithmétique modulaire
• Permutations
• Groupes et homomorphismes

Examen modalities: Final written exam during the January session. Bonus points can be obtained through participation to facultative midterm exam and quizz. Electronic devices are totally forbidden.
Exam modalities for the retake exam: Final written exam. No bonus point.
Absence plan: None��

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• Oscar Lewin. Discrete Mathematics – An Open Introduction.


• Richard Hammack. Book of Proof, 3rd edition, 2018.


• Paul Halmos. Naive Set Theory, Springer-Verlag, 1974.

• Course title: ������è������ linéaire 1
• Number of ECTS: 9
• Course code: BA_MATH_GEN-3
• Module(s): Module 1.2
• Language: FR
• Mandatory: Yes

A l’issue du cours, l’étudiant doit être à même de :

• maîtriser les notions et les algorithmes fondamentaux de l’algèbre linéaire ainsi que les principaux outils développés pour l’étude générale des espaces vectoriels


• acquérir un raisonnement rigoureux et systématique, indispensable à l’analyse et à l’interprétation des objets de l’algèbre linéaire

Au terme du cours, l’étudiant doit être à même de :

• comprendre le rôle central de l’algèbre linéaire dans les sciences mathématiques


• maîtriser les notions et les algorithmes fondamentaux de l’algèbre linéaire ainsi que les principaux outils développés pour l’étude générale des espaces vectoriels


• acquérir un raisonnement rigoureux et systématique, indispensable à l’analyse et à l’interprétation des objets de l’algèbre linéaire


• formuler et résoudre mathématiquement certains problèmes concrets modélisables au moyen de l’algèbre linéaire.
  

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Programme

• Matrices : définitions et opérations de base, matrices particulières, transposée, inverse, lien avec les systèmes linéaires et méthode du pivot
• Espaces vectoriels : définitions, premières propriétés, exemples, sous-espace vectoriel, bases, dimension, supplémentaire,
• Applications linéaires : définition, noyau, image, théorème du rang, matrice d’une application linéaire, changement de bases
• Déterminant : rappels sur le groupe symétrique, formes n-linéaires alternées, définition du déterminant, propriétés, applications, calculs, comatrice
• Géométrie dans le plan et l’espace : produit scalaire, bases orthonormées, procédé de Gram-Schmidt, orthogonal, isométrie et classification

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Exam modalities for the first session
un examen partiel (écrit) sera organisé pendant le semestre et un examen final (écrit) sera organisé pendant la période des examens de janvier. La note finale sera calculée comme suit: max(final,0,4*partiel+0,6*final).

Exam modalities for the retake exam
un examen de rattrapage écrit sera organisé pendant la période des examens de juillet. La note finale sera la note obtenue à cet examen de rattrapage.

Absence plan
en cas d’absence à l’examen partiel écrit de la 1ère session, la note finale de la première session est égale à la note de l’examen final.

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• Les notes de cours (sous forme de transparents) sont disponibles sur Moodle, ainsi que les feuilles d’exercices.


• Le cours ne suit pas de livre particulier. Le contenu est toutefois classique, et n’importe quel ouvrage d’algèbre linéaire pour les étudiants de 1ère année de bachelor ou de licence de mathématiques peut être utilisé par l’étudiant qui souhaite aller plus loin et/ou avoir plus d’exercices.

• Course title: Didactique des mathématiques 1
• Number of ECTS: 5
• Course code: BA_MATH_GEN-4
• Module(s): Module options 1.3 (choisir 5 ECTS)
• Language: FR
• Mandatory: No

Faire émerger ses représentations sur

• « c’est quoi les maths ?»,


• « pourquoi les maths à l’école ?»,


• « qu’est-ce que faire des maths à l’école ?»


• « aimer ou détester les maths : pourquoi ?»

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Cours visant une interaction étroite entre observation, analyse et théorisation de pratiques de classe (mathématique, historique, didactique et épistémologique)
Comprendre les fondements du programme de mathématiques au secondaire

Programme

• Comment donner goût aux mathématiques à l’aide de jeux mathématiques ?
• Comment combler des lacunes ou améliorer sa rapidité en calcul à l’aide de jeux mathématiques ?
• Découverte de divers jeux. Recherche des points forts et faibles de ces jeux
• Premier contact en classe pour vérifier auprès des élèves ces points forts et faibles et confrontation
• Situations-problèmes, problèmes d’application, problèmes ouverts
• Histoire, symboles, étymologie
• Capacité, compétence, connaissance et savoir mathématiques�� ��
• Recourir à des logiciels de calcul formel et de géométrie dynamique

• Engagement régulier,


• Elaboration d’un portfolio personnel (pièces créées à partir des éléments traités en cours),


• Présentation du portfolio.

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• Course title: Programming Fundamentals 1
• Number of ECTS: 5
• Course code: F1_BAINFOR-9
• Module(s): Module options 1.3 (choisir 5 ECTS)
• Language: EN
• Mandatory: No

This course introduces the fundamentals of programming using the Python programming language. This is not primarily a Python programming course but rather a discussion of the fundamental concepts underlying computation using Python code examples as illustration. At the same time enough of the Python language is covered for the students to be able to tackle non-trivial problems (e.g., in the context of projects). This introductory course forms the basis for more advanced courses on algorithms and object-oriented programming.

Upon completion of this course the student should be able to:
move from a problem description to a Python program by successively reducing the level of abstraction with the help of pseudo-code.
document the implementation choices.��
make use of available data types and program libraries.
extend and adapt code written by other programmers.
test and debug computer programs.

1. Introduction to computational problem solving and the Python programming language.
2. Basic syntax and semantics of Python.
3. Functions and modules.
4. Problem solving and recursion.
5. Structured types and function objects.
6. Files and exceptions.
7. Testing.
8. Debugging.
9. Iterators and generators.
10. Floating-point numbers.
11. Introduction to object-oriented programming in Python.
12. Introduction to popular libraries: mathplotlib, NumPy and Pandas.
13. Introduction to software engineering.

Assessment modality: Combined assessment
Assessment tasks

Task 1:
Written exam (50%)
Grading scheme: 20 points (0-20)
Objectives: The objective of this final exam is to test the student’s understanding of the course material.
Assessment rules: The student has to answer questions with pencil and paper. This is a closed-book exam. No cheat sheet allowed.
Assessment criteria: The student must answer the stipulated questions in a way that clearly demonstrates understanding of underlying concepts.
Task 2:Written exam (50%)
Grading scheme: 20 points (0-20)
Objectives: To test the student’s ability to implement Python programs for concrete problems.
Assessment rules: The student has to solve programming tasks with pencil and paper. This is a closed-book exam. No cheat sheet allowed.
Assessment criteria: The exam consists of two parts: mid-term evaluation and final evaluation, each of which counts 25%.
Task 3:Written exam – RETAKE (100%)
Grading scheme: 20 points (0-20)
Objectives: The objective of this final exam is to test the student’s understanding of the course material.
Assessment rules: The student has to answer questions with pencil and paper. This is a closed-book exam. No cheat sheet allowed.
Assessment criteria: The student must answer the stipulated questions in a way that clearly demonstrates understanding of underlying concepts.

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Course materials

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Remarks:
Literature list☐Yes☒No
Remarks:
Moodle page☒Yes☐No
Remarks:https://moodle.uni.lu/course/view.php?id=321
Other, please specify:

• Course title: Innovation, Creativity, and Entrepreneurship Essentials
• Number of ECTS: 5
• Course code: BBA-15
• Module(s): Module options 1.3 (choisir 5 ECTS)
• Language: EN
• Mandatory: Yes

Many of students will make a switch to the modern labour market at some point in their career. Knowledge of business aspects such as innovation, marketing, leadership, team building, intellectual property rights, finance and business models is essential to succeed. However, in the academic arena in which students learn their core educational skills, these subjects may not be often elaborated upon. The course offers immersive and interactive workshops and activities, designed to test participants’ entrepreneurial appetite and jumpstart their entrepreneurial adventure. Whether students want to ignite theirs entrepreneurial spirit or get just enough flavour of entrepreneurship to flourish as entrepreneurs within any organization, they will learn the basic building blocks to excel. Looking at the world with an opportunity-oriented mindset, we put them in the entrepreneurial roles to work on their chosen ideas and concepts. Students will gain experience in following an inte- disciplinary approach as well as the capability to brainstorm, think outside the box, and to generate ideas with the aim to improve their entrepreneurial skillset including: communication, teamwork, networking, decision-making, complex problem-solving, critical thinking, creativity, time management, marketing skills, leadership among others.

With a wide breadth of knowledge of entrepreneurship, creativity, innovation and business essentials, the skills learned are vital for the success of any business, in new ventures as well as in established companies. The goal of this course is to provide students guidance with an overarching framework: # To be aware of entrepreneurship opportunities # Debunk the top myths of entrepreneurship #To be able to professionalize their startup or research projects # To be aware of how to develop an entrepreneurial project: Identify an opportunity or a problem worth solving; Evaluate an idea; Perform market research and choose the target audience; Brainstorm and design a creative innovative solution; Test the solution with potential customers; Strategize the venture growth development ; Pinpoint and manage the critical risks ; Build a financial model and discover the key financial information; Learn to pitch effectively # Interact effectively with students’ peers with diverse skills and experience # Network with relevant stakeholders in the entrepreneurial, startup and business ecosystems in Luxembourg

1.Fundamentals of Entrepreneurship (24 hours of self-paced workshops) 2. Co-Founders Nights (4 sessions x 3 hours) 3. My Big Idea (executive summary of 18 hours) 4. Inception Sprint Day (1 day inception camp 15,5 hours + 1.5 hour online meeting with participant prior to activity) 5. Self-reflection / learning diary (10 hours) 6. Final debriefing session (1.5 hour)

Assessment tasks
Type of assessment
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Grading scheme
Weight for final grade
Task 1
Take-home assignment
Fundamentals of Entrepreneurship
Pass/Fail
20%
Objectives
We aim to provide a structured framework for the self-paced workshops, focusing on equipping participants with the knowledge, skills, and mindset required to succeed in innovation, entrepreneurship, and intrapreneurship. Four objectives: (1)�� Develop Understanding of Innovation and Creativity (2) Establish a Strong Foundation for a New Business Venture (3) Cultivate Intrapreneurial and Entrepreneurial Mindsets (4) Active Engagement and Completion of Workshops.

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Task 2
Active participation
Co-Founders Nights
Pass/Fail
15%
Objectives
We aim to create a dynamic and supportive environment for participants to learn from experienced entrepreneurs, network, and potentially find co-founders for their entrepreneurial ventures, ultimately empowering them to take meaningful steps towards realizing their entrepreneurial aspirations. Objectives are (1) Gain Insights into Entrepreneurship (2) Find Potential Co-Founders for your idea or join a team (3) learn how to network
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Task 3
Take-home assignment
My Big Idea
20 points (0-20)
15%
Objectives
We aim to provide participants with a clear understanding of developing a simple but effective executive summary. Objectives are: (1) Develop Entrepreneurial Skills (2) Foster Collaboration and Teamwork (3) Idea Development and Refinement
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Task 4
Active participation
Inception Sprint Day
20 points (0-20)
30%
Objectives
We aim to provide participants with a structured framework for learning and skill development during the Inception Sprint Day, focusing on collaboration, problem-solving, leadership, startup dynamics, multidisciplinary teamwork, pitching, and communication. Objectives are (1) Develop Cross-Disciplinary Collaboration Skills (2) Enhance Problem-Solving Abilities (3) Gain Insight into Ventures Dynamics (4) Practice Pitching and Communication Skills (5) Gain Real-World Experience
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Task 5
Take-home assignment
Self-reflection / learning diary
Pass/Fail
10%
Objectives
By engaging in individual reflection, participants can gain valuable insights into their own learning experiences, personal growth, and professional development. The reflection process serves as a tool for self-discovery, critical thinking, and ongoing improvement, enhancing the overall learning journey for each participant.
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Task 6
Active participation
Final debriefing session
Pass/Fail
10%
Objectives
The debriefing session serves as a valuable opportunity for reflection, feedback, and collaboration, benefiting both participants and organizers.

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• Course title: Analyse 2
• Number of ECTS: 7
• Course code: BA_MATH_GEN-6
• Module(s): Module 2.1
• Language: FR, EN
• Mandatory: Yes

1. Understanding the fundamental results of differential and integral calculus for real-valued functions of one or several real variables.


2. Developing proficiency in key mathematical tools used in physics and engineering. Gaining both an intuitive understanding and a rigorous grasp of core concepts in analysis.


3. Building a strong foundation in mathematical reasoning and proof techniques, while learning to approach analysis with precision and rigor.

Students who successfully complete the Analysis 2a and 2b courses will be able to:

• Master the fundamentals of differential and integral calculus for functions of one or several real variables


• Solve both applied and basic theoretical exercises


• Understand, explain, and apply various proof techniques


• Correctly use fundamental tools of analysis

• Chapter 1. Several variable differential calculus
• Chapter 2. Integration in several variables
• Chapter 3. Series
• Chapter 4 The Lebesgue integral
• Chapter 5. Metric spaces
• Chapter 6. ����ͷ��form convergence
• Chapter 7. Power series
• Chapter 8. Ordinary differential equations

First Take:

Continuous assessments :��10% Quizz

Final written exam: 90%

Retake:

Written exam

Note / Literature / Bibliography��

We strongly recommend studying the course notes available at https://gruetznotes.xyz. For additional references or further reading, students can contact the instructors directly.

• Course title: Géométrie euclidienne et non euclidienne
• Number of ECTS: 6
• Course code: BA_MATH_GEN-7
• Module(s): Module 2.1
• Language: EN, FR
• Mandatory: Yes

Understanding of the basic properties of four fundamental geometric structures:
the Euclidean geometry, the hyperbolic geometry, the elliptic geometry and the projective geometry.

1. Euclid’s axioms and the parallel postulate;
2. Euclidean geometry (complements of analytic Euclidean geometry);
3. Elliptic geometry (analytic approach)
4. Hyperbolic geometry (analytic approach)
5. Basics of the projective geometry: projective spaces, projective transformations, homogeneous coordinates, conics

Written examination

Note/Book

Supplemental material will be provided

• Course title: ������è������ linéaire 2
• Number of ECTS: 7
• Course code: BA_MATH_GEN-8
• Module(s): Module 2.2
• Language: FR, EN
• Mandatory: Yes

Apprendre et maîtriser les théorèmes fondamentaux d’algèbre linéaire abstraite.

Les étudiant(e)s ayant suivi avec succès le cours d’algèbre linéaire seront capables :��

• de maîtriser les théorèmes principaux de l’algèbre linéaire abstraite,��


• d’appliquer leurs connaissances pour résoudre des exercices et de problèmes d’application.��

Contenu��
Polynôme caractéristique et minimal, théorème de Cayley-Hamilton, diagonalisation, décomposition spectrale, réduction de Jordan, endomorphismes auto-adjoints et normaux, quadriques, dualité.

Examen écrit et contrôle continu

Retake: Examen écrit comptant 100% de la note

Notes – ������é�����ٳܰ���

Notes du cours disponibles sur Moodle.
Il est conseillé aux étudiants de consulter des livres pour approfondir leurs connaissances.
Une liste de références sera mise à la disposition des étudiants au début du cours.

• Course title: Introduction to Geophysics: Learning to think like a scientist
• Number of ECTS: 2
• Course code: BA_PHYS_GEN-42
• Module(s): Module options 2.3 (choisir 10 ECTS)
• Language:
• Mandatory: No

The module will develop your understanding of Earth. We will use MATLAB to explore the different types of geophysical data to understand the physical properties of the Earth. Students will learn how
Search the Web for different types of geophysical data
Use MATLAB for data analysis
Create 2D plots of time series data
Understand the mean, scatter, and trend of geophysical time series
Fit seasonal signals and calculate residuals
Use geophysical data to measure plate tectonic velocities and estimate natural hazards
Plot and interpret the pattern of seismicity globally in terms of plate tectonics
Determine their location on Earth using GNSS
Understand mass changes on Earth from satellite gravity observations.

Students that successfully complete this course will be able:
To understand why the Earth looks like it does
To understand why earthquakes and volcanoes occur where they do
To understand how to use GNSS to measure plate velocities
To understand how GNSS and satellite gravity can tell us about Earth

Class Outline: Questions to Explore
How do geophysicists approach problem-solving and analysis?
What is the step-by-step process of the scientific method in geophysics?
What roles and tasks are undertaken by geophysicists in their field?
In what ways can MATLAB be effectively used to enhance our understanding of Earth’s dynamics?
What fundamental principles define plate tectonics and its role in shaping the Earth’s surface?
Why do seismic activities like earthquakes and volcanic eruptions occur in specific geographical locations?
What is the significance of satellite geodesy in geophysical research, and how does it contribute to our understanding of Earth?
How does GNSS play a key role in investigating seismic hazards, and what insights can be gained from such studies?
Distinguish between absolute gravity and relative gravity, and understand their respective applications in geophysics.
Explore the methodologies involved in measuring mass changes from space and the reasons behind these measurements.
What is optical imaging, and how does it serve as a tool for comprehending Earth’s processes and features?
What key components constitute the water cycle, and how does it influence various Earth processes and ecosystems?

Task 1: Written exam during exam session (45%)
Task 2: Home-Assignment and Project (45%)
Assessment Rules: Submission of reports via Moodle within the stipulated timeframe.
Assessment Criteria: Graded out of 20 for each exercise, assessing depth of understanding, application of concepts, and overall quality of work.
Task3: Participation (10%)
Assessment Rules: Active and constructive engagement in class activities, discussions, and collaborative projects.
Assessment Criteria: Evaluation based on the frequency and quality of contributions, demonstrating a commitment to the learning process.

To be defined in the lecture as required.

• Course title: Didactique des mathématiques 2
• Number of ECTS: 5
• Course code: BA_MATH_GEN-10
• Module(s): Module options 2.3 (choisir 10 ECTS)
• Language:
• Mandatory: No

• Pratiquer la construction des compétences mathématiques


• Planifier et présenter des projets didactiques intégrant les notions développées et favorisant un apprentissage efficient


• Construire des activités interactives et collaboratives en ligne

Conception, réalisation et évaluation de diverses activités mathématiques en classe, respectivement d’activités d’apprentissage en ligne (tests formatifs autocorrigés et activités « peer to peer »

• Le concept d’autonomie
• Développement de thèmes pluridisciplinaires
• Regards sur l’histoire des définitions et concepts
• Correction de devoirs au cycle inférieur

Engagement régulier et élaboration d’un portfolio personnel, présentation du portfolio.

Literature

• Portfolio personnel


• Bibliographie complétée progressivement et recherche personnelle Lecture conseillée : « Lettre à un jeune professeur », Philippe Meirieu, Co-Edition ESF-France Inter ISBN 2-7101-1740-1 (22 août 2005)

• Course title: Logiciels mathématiques
• Number of ECTS: 3
• Course code: BA_MATH_GEN-13
• Module(s): Module options 2.3 (choisir 10 ECTS)
• Language: EN
• Mandatory: No

The first part of the course will cover the basics of the LaTeX markup language.
We will see how to use it to write a mathematical text, such as lecture notes or a Thesis, and to prepare slides for a presentation.
In the second part we will focus on SageMath and other mathematical software to carry out computations. We will also briefly talk about computational complexity and how to write more efficient code.

The student who completes the course will be able to use the LaTeX markup language to write documents and prepare slide-based presentations and to use SageMath and other mathematical software to carry out computations.

LaTeX [1] is a markup language to write and format documents of any type. It is particularly well-suited for scientific documents, but it can be used for any type of document, including books, CVs and even presentation slides.
It can be used together with a graphical front-end (such as TexMaker, TexStudio, Overleaf…) to immediately see the pdf output. The main advantage over a more classical word processor such as Microsoft Word, besides a much better support for writing mathematical formulas and theorems, is that in LaTeX “What you see is what you mean” [2]: by typing commands instead of visually changing the appearence of the text, the “compiler” will always try to produce an output that is faithful to what the user indicated, so the user does not have to manually adjust the result after every major modification.
SageMath [3] is a free and open-source Mathematical software system which builds on top of many existing: NumPy, SciPy, matplotlib, Sympy, Pari/GP, GAP, R and many more. Thanks to it, all the features all these languages can be accessed from a common python-based interface.
In practice, the SageMath “language” is almost identical to python, but it provides a complete set of libraries to deal with many mathematical objects and computations.

1. https://en.wikipedia.org/wiki/LaTeX
2. https://en.wikipedia.org/wiki/WYSIWYM
3. https://www.sagemath.org/

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The evaluation of the course will be based Quiz and Final project.��

Note

https://doc.sagemath.org/html/en/tutorial/index.html

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• Course title: Mathématique Physique
• Number of ECTS: 4
• Course code: BA_MATH_GEN-9
• Module(s): Module options 2.3 (choisir 10 ECTS)
• Language: FR
• Mandatory: No

Le cours vise à

• illustrer sur l’exemple de la mécanique que la physique théorique décrit les lois et les principes de la physique en se basant sur des modèles mathématiques et réussit à faire des prédictions sur des systèmes complexes ;


• initier l’étudiant(e) à résoudre des problèmes en mécanique en se basant sur le formalisme de la physique théorique.

L’étudiant(e) ayant validé l’unité d’enseignement est capable de comprendre la mécanique newtonienne appliquée à la masse ponctuelle et au système de points.

Partie 1 : Introduction mathématique à la mécanique.
Partie 2 : Éléments de cinématique et de statique.
Partie 3 : Dynamique du point (référentiels inertiaux et non-inertiaux). Intégrales premières. Diagramme du potentiel. Référentiel géocentrique, référentiel terrestre.
Partie 4 : Dynamique des systèmes de points.
Partie 5 : Problèmes classiques tels que particules chargées dans un champ électromagnétique, mouvements planétaires, marées, satellites, pendule de Foucault, ….

Examen écrit et contrôle continu

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• F. Viot, Mécanique du point. Dunod, 2005.


• W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 1 : Klassische Mechanik. Springer, 2006.


• T.W.B. Kibble F.H. Berkshire, Classical Mechanics. Imperial College Press, 2009.

• Course title: Mathématiques expérimentales 1
• Number of ECTS: 4
• Course code: BA_MATH_GEN-14
• Module(s): Module options 2.3 (choisir 10 ECTS)
• Language: FR, EN
• Mandatory: No

Learn and use in a practical context mathematical notions beyond the content of other courses. Develop programming skills. Discover a research-oriented aspect of mathematics and participate in research projects.

Students who have successfully followed this unit will have learned and been able to use in a practical context mathematical notions beyond the content of other courses. They will have developed their programming skills, and discovered a research-oriented aspect of mathematics and, in some cases, participated in research projects.

Les étudiants suivant ce module prendront part, en groupes de 2 ou 3 ou exceptionnellement seul, à un projet de mathématiques expérimentales qui comportera une partie importante de programmation, expérimentation ou visualisation sur ordinateur et qui fera appel à des notions mathématiques enseignées jusqu’au semestre 2. L’encadrement est assuré par un enseignant du Département de Mathématiques. Il n’y aura pas de contrainte horaire particulière pour participer à ce module : un calendrier de suivi sera établi en début de semestre entre l’enseignant et le (les) étudiant(s) concernés.
La liste des projets disponibles peut être consultée sur https://math.uni.lu/eml.
Le nombre de places pour participer à ce module étant limité, les étudiants intéressés sont priés de participer à la réunion de présentation qui leur sera proposée et de suivre la procédure de choix de projets expliquée dans la réunion.

S’il y a plus de personnes intéressées que de places disponibles, le seul critère retenu sera l’excellence du dossier.

L’évaluation consistera en la rédaction d’un mémoire de projet (contenant entre autres le code et son explication, un résumé des mathématiques utilisées, une discussion des résultats expérimentaux obtenus quand c’est le cas, …) et sa défense pendant une soutenance orale.

Retake: un nouveau projet doit etre fait

Literature / Notes

sera mis à disposition au début du projet

• Course title: Programming Fundamentals 2
• Number of ECTS: 4
• Course code: F1_BAINFOR-15
• Module(s): Module options 2.3 (choisir 10 ECTS)
• Language: EN
• Mandatory: No

This course is about object-oriented programming, a paradigm that enables programmers to deal with program complexity by decomposing programs into small, self-contained units that can easily be reused and adapted across projects. The course will have a practical flavour, with demonstrations, examples, and assignments.
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We will rely on the Java programming language to concretize object-oriented concepts through the development of programs.�� Java is among the five most popular and most demanded programming languages on the job market; it is used in Web-based, Android, and embedded systems. Java is popular because it is easy to learn, has a rich set of programming APIs, and is supported by many development tools.
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In this course, through Java, the students will learn to develop software applications of medium complexity relying on class inheritance and decomposition, known Java data structures, exception handling, file processing, GUIs, and concurrency support.

The course will lead to the following learning outcomes:

• Design, code, test, and debug Java programs that follow an object-oriented design and uses each of the following fundamental programming constructs: classes, assignment and expressions, console I/O, conditional and iterative structures, functions with parameter passing, structured data types provided with the language, use file I/O to provide persistence across multiple executions, rely on exception-handling mechanism.
• Write programs of medium complexity that use Java GUI APIs and rely on concurrency mechanisms.
• Develop tests for program modules and apply a variety of strategies to design test cases.
• Build, execute and debug programs using a modern IDE and associated tools such as visual debuggers.

The course has the following lesson topics:
1. Development environments: shell, editor, java compiler vs runtime, source code control, build automation tools, IDEs,
2. Java Basics: Types, Control Flow, and I/O operations,
3. Inheritance and Polymorphism in Java,
4. Implementing data structures in Java,
5. Java collections,
6. Parametric polymorphism and generics,
7. Exception handling in Java,
8. File processing,
9. Concurrency in Java,
10. Java GUIs,��
11. Event-driven programming in Java,
12. Static methods, Nested classes, Networking,
13. Persistence,
14. Lambda and Streams.
They cover for the following teaching objectives:
A) Principles of object-oriented programming and design
A.1) Decomposition into objects carrying state and having behaviour through the definition of classes (fields, methods, and constructors), subclasses, inheritance, and method overriding.
A.2) Idioms for encapsulation (visibility, interfaces, and abstract classes).
A.3) Dynamic dispatching of method calls definition of method-call.
B) The Java language as an example of object-oriented language
B.1) Basic concepts such as variables, primitive data types, expression evaluation, assignment.��
B.2) Basic constructs such as conditional and iterative structures and flow of control.��
B.3) Key modularity constructs such as methods and classes, and related concepts like parameter passing, scope, abstraction, data encapsulation.
B.4) Input and output using files, console, and APIs��
B.5) Structured data types available in the Java APIs (e.g., the collection framework)��
B.6) GUI Libraries��
B.7) Recursion
B.8) Dealing with runtime errors in programs (exception handling)��
B.9) Strings and string processing
C) Data structures in Java
C.1) Implementing standard abstract data types such as lists and trees in Java
C.2) The Java Collections package for lists, trees, stacks, queues, sets, and maps
C.3) Performance implications of choice of data structure(s)
D) Principles of reactive programming
D.1) Components of reactive programming: event-source, event signals,��
listeners and dispatchers, event objects, adapters, event-handlers.
D.2) Use of reactive programming in Java, with a GUI case study: Defining event handlers/listeners, Parameterization of event senders and event arguments, externally generated events, and program-generated events��
D.3) Conceptual separation between Model, View, and Controller.
E) Parallelism and concurrency in Java
E.1) Basic constructs and the concurrent Package.
F) Basic software testing principles
F.1) Deriving test cases from functional specifications and implementation
F.2) The Junit framework
F.3) Code coverage
G) Development environments
G.1) Shells, editors, java compiler vs runtime.
G.2) Source code control, build automation tools, IDEs.

Task 1: Written exam (30%)


Mid-term, First-time students

Grading scheme: 20 points (0-20)
Objectives: Written exam to assess students’ knowledge of the basics of Java and OO programming. Consists of short programming exercises, open questions, and quizzes.
Assessment rules: All enrolled students. Laptop, smartphones, cheat sheets, and books are not allowed.
Assessment criteria: Correctness of answers, program design, functioning, and code style.
Task 2: Written exam (70%)
Final exam, First-time students
Grading scheme: 20 points (0-20)
Objectives: Programming exercises to assess that students have reached the objectives of the course.��
Assessment rules: All enrolled students. Laptop, smartphones, cheat sheets, and books are not allowed.
Assessment criteria: Correctness of program design, functioning, and code style.
Task 3: Written exam 100% or 70% + 30% (Task 1)
Repeat students
Grading scheme: 20 points (0-20)
Objectives: Programming exercises to assess that students have reached the objectives of the course. If the student participated to the previous mid-term exam, the highest grade between `100% Task 3’ and `70%(Task 3)+30%(Task 1)’ will be considered.�� Otherwise, only the grade for Task 3 will be considered.
Assessment rules: All enrolled students. Laptop, smartphones, cheat sheets, and books are not allowed.
Assessment criteria: Correctness of program design, functioning, and code style.��

��

Course materials
Syllabus��
​​☒​Yes​☐​No��
Remarks:��
Available on Moodle.��
Literature list��
​​☒​Yes​☐​No��
Remarks:��
1) Building Java Programs, 4th Edition. Stuart Reges, Marty Stepp. Pearson.��
2) Learning Java. Marc Loy, Patrick Niemeyer, Daniel Leuck. 6th Edition. O’Reilly Media.��
Moodle page��
​​☒​Yes​☐​No��
Remarks:��
https://moodle.uni.lu/course/view.php?id=2452��
Other, please specify:��
��

• Course title: Experimental Physics 2a and 2b: Electromagnetism (2a, CM) and TD (2b)
• Number of ECTS: 5
• Course code: BA_PHYS_GEN-27
• Module(s): Module options 2.3 (choisir 10 ECTS)
• Language: FR, EN
• Mandatory: No

• Familiarizing the student with the principles and laws of electromagnetism


• Sensitizing the student to the certainty that Maxwell’s theory of electromagnetism results from nature observation and is based on reproducible experimental facts


• Guiding the student to apply the principles and laws of electromagnetism to solve problems

��

After completion of the course, the student is expected
– to set up Maxwell’s equations using experimental laws deduced from nature observation;
– to exploit Maxwell’s equations to prove that light propagates in form of electromagnetic waves;
– to understand and apply the laws of electromagnetism.

Loi de Coulomb, Champ et potentiel électriques, Loi de Gauss et applications, Condensateur, Energie du champ électrique, Diélectriques dans le champ électrique, Polarisation diélectrique, Champ de déplacement
Courant électrique:
Intensité du courant électrique, Densité de courant, Conductivité et résistivité, Loi d’Ohm, Résistance électrique, puissance électrique, Effet Joule, Equation de continuité, Courant de polarisation dans un diélectrique, Circuits électriques, Lois de Kirchhoff
Champ d’induction magnétique:
Force de Lorentz et champ d’induction magnétique, Force de Laplace, Effet Hall, Sources du champ d’induction magnétique : lois d’Ampère et de Biot-Savart, Propriétés magnétiques de la matière, Magnétisation, Champ magnétique, Paramagnétisme et diamagnétisme, Ferroélectricité
Induction électromagnétique:
Lois de Faraday et Lenz, Courants de Foucault, Induction mutuelle et auto-induction, Energie du champ d’induction magnétique, Courant de déplacement, Equations de Maxwell
Courant alternatif:
Tension et intensité efficaces, Dipôles passifs, Puissance du courant alternatif, Résonance et anti-résonance électriques, Oscillations électriques amorties, Transformateur
Ondes électromagnétiques:
Equations télégraphiques, Ondes électromagnétiques, Propagation de l’énergie électromagnétique et vecteur de Poynting, Dipôle de Hertz, Dipôles secondaires et diffusion, Dispersion et absorption

Experimental Physics 1b: TD (exercise class)

Homework: assignments on a weekly basis
Midterm test��
The regular participation in the exercise class is mandatory: students with more than two unexcused absences are excluded from the exercise class.
Experimental Physics 1a: CM (lecture)
Written exam
To be admitted to the written exam, the student needs a grade in Experimental Physics 1b.
Final grade:
Written exam counts for 80%
Take-home assignments and midterm test count for 10% respectively.

Syllabus

• Course title: Analyse 3
• Number of ECTS: 7
• Course code: BA_MATH_GEN-17
• Module(s): Module 3.1
• Language: FR, EN
• Mandatory: Yes

Les étudiants ayant suivi avec succès le cours d’analyse 3 seront capables de :

• Manipuler correctement les séries de fonctions et séries entières en particulier
• Appliquer les résultats classiques de la théorie des fonctions de plusieurs variables réelles
• Résoudre des problèmes d’application simples

Dans ce cours, on diversifie et approfondit diverses connaissances et techniques de l’analyse mathématique. On s’intéresse à démontrer plusieurs théorèmes fondamentaux dans l’étude des fonctions de plusieurs variables, des équations différentielles et des suites de fonctions.

Programme

• Fonctions implicites et applications
• Théorie locale des équations différentielles ordinaires
• Convergence de suites de fonctions
• Série de puissances
• L’exponentielle matricielle
• Théorème d’approximation de Stone-Weierstrass
  

Contrôle continu et examen écrit

�����ٳ�é�����ٳܰ�����

• W. Rudin: Principes d’analyse mathématique.


• Des notes de cours sont mises à disposition des étudiants.

• Course title: �ʰ��Dz�������������é��
• Number of ECTS: 5
• Course code: BA_MATH_GEN-18
• Module(s): Module 3.1
• Language: FR, EN
• Mandatory: Yes

Le but de ce cours est de faire acquérir à l’étudiant une connaissance de base des principaux concepts en probabilité et statistique.

Au terme du cours, l’étudiant doit être à même de :

• Comprendre les notions fondamentales de la théorie des probabilités, notamment les espaces de probabilité, les tribus, et les variables aléatoires.


• Maîtriser les concepts de lois de probabilité discrètes et continues, ainsi que leurs propriétés (fonction de répartition, moments, indépendance, etc.).


• Identifier, modéliser et manipuler les principales lois classiques (binomiale, géométrique, de Poisson, normale, exponentielle, etc.), et comprendre leurs domaines d’application.


• Calculer l’espérance, la variance, et d’autres moments de variables aléatoires, et utiliser les inégalités classiques pour encadrer ou estimer ces quantités.


• Utiliser les fonctions génératrices et caractéristiques pour étudier des lois de probabilité.


• Analyser la dépendance entre variables aléatoires via la covariance et le coefficient de corrélation.


• Comprendre et appliquer les théorèmes limites (loi faible des grands nombres, théorème central limite) dans des contextes concrets.

Programme

1. Espace de probabilité et variable aléatoire

• ����ͷ��vers
• Tribu et variable aléatoire
• �ʰ��Dz�������������é
• Cas où l’univers est fini ou dénombrable
• Indépendance d’événements
• Loi d’une variable aléatoire
• Fonction de répartition
• Lois discrètes vs continues
• Variables aléatoires indépendantes

2. Lois classiques

• Loi uniforme discrète
• Loi de Bernoulli
• Loi binomiale
• Loi géométrique
• Loi de Poisson
• Loi uniforme continue
• Loi gaussienne
• Loi exponentielle
• Loi de Cauchy

3. Espérance

• Introduction
• Espérance d’une variable positive
• Moments, variance, écart-type
• Espérance et variance des lois classique
• Inégalité de Markov, Bienaymé-Tchebicheff et Jensen
• Fonction génératrice
• Fonction caractéristique
• Covariance et coefficient de corrélation linéaire
  

4. Théorème limite

• Loi faible des grands nombres
• Théorème central limite
  

Exam modalities for the first session

un examen partiel (écrit) sera organisé pendant le semestre et un examen final (écrit) sera organisé pendant la période des examens de janvier. La note finale sera calculée comme suit: max(final,0.4*partiel+0.6*final).

Exam modalities for the retake exam

un examen de rattrapage écrit sera organisé pendant la période des examens de juillet. La note finale sera la note obtenue à cet examen de rattrapage.

Absence plan

en cas d’absence à l’examen partiel écrit de la 1ère session, la note finale de la première session est égale à la note de l’examen final.

�����ٳ�é�����ٳܰ���

N’importe quel ouvrage d’introduction à la théorie de probabilités et de la statistique.

• Course title: ������è������
• Number of ECTS: 7
• Course code: BA_MATH_GEN-19
• Module(s): Module 3.2
• Language: FR, EN
• Mandatory: Yes

Dans l’histoire on comprend par l’algèbre l’étude des équations. Au cours des 2000 ans de cette étude, les gens se sont aperçus que certaines structures revenaient très souvent, et en plus dans des contextes tout à fait différents ! Depuis, les algébristes s’occupent aussi de l’étude et du développement de ces structures, ainsi que, évidemment, de leurs applications dans d’autres domaines en sciences, ingénierie et mathématiques.
L’objet principal du cours sera l’étude des anneaux et des extensions algébriques des corps commutatifs. En particulier, la théorie de Galois sera développée et appliquée. Elle permet entre autres de démontrer que l’équation générale de degré au moins 5 ne peut pas être résolue en radicaux et de résoudre (parfois de manière négative) plusieurs problèmes classiques (provenant des anciens Grecs) de construction à la règle et au compas comme la trisection d’un angle et la quadrature du cercle.

Le cours couvrira les sujets suivants :

• théorèmes d’isomorphismes pour groupes et anneaux (sous-groupes distingués, idéaux, quotients)
• anneaux généraux: idéaux premiers et maximaux, quotients, corps des fractions d’un anneau intègre
• anneaux euclidiens et anneaux factoriels
• critères d’irréductibilité pour polynômes
• extensions algébriques de corps
• corps : caractéristique, clôture algébrique, corps de rupture, corps de décomposition, corps finis
• quelques constructions à la règle et au compas
• extensions de corps: normales, séparables, galoisiennes
• correspondance de Galois
• groupes solubles, (non-)solubilité d’équations polynomiales par radicaux, groupes de Galois de polynômes
• constructions à la règle et au compas
• (Hilbert 90 et Théorie de Kummer : caractérisation des extensions solubles)

Examen écrit et contrôle continu

• Course title: Topologie générale
• Number of ECTS: 5
• Course code: BA_MATH_GEN-20
• Module(s): Module 3.2
• Language: FR, EN
• Mandatory: Yes

Au terme du cours l’étudiant doit être à même de

• maîtriser les concepts de base de la topologie générale et de la topologie des espaces métriques ainsi que les notions de connexité, de compacité et plus généralement d’invariants topologiques;


• appliquer les outils de la topologie générale pour résoudre des problèmes d’analyse ou d’algèbre.

Apprendre les fondements de la topologie générale, avec un accent sur la topologie métrique.

Programme

• Espaces métriques, boules, ouverts, topologie des espaces métriques, limites, comparaison des distances
• Espaces topologiques, bases, intérieur, adhérence, application continue, topologie produit, topologie induite, homéomorphismes, invariants topologiques
• Connexité, connexité par arcs, composantes connexes
• Compacité dans les espace métriques, complétude, topologie des espace vectoriels normés
  

Conditions d’examen:

Contrôle continu (sous forme écrite) et examen écritExam modalities for the first session Examen écrit
Exam modalities for the retake exam Examen écrit

Absence plan None

Task 1: Written exam, midterm and quizzes.
Assessment rules: No document or devices are allowed during exams.
Assessment criteria: Graded out of 20 for each exercise.
Weight for the final grade : Max entre le final et la moyenne pondérée du final (45%) du midterm (40%) et des 3 quizzes (15%)

• Course title: Didactique des mathématiques 3
• Number of ECTS: 5
• Course code: BA_MATH_GEN-21
• Module(s): Module 3.3. (choisir au moins 6 ECTS)
• Language: FR
• Mandatory: No

Cours visant une interaction étroite entre observation, analyse et théorisation de pratiques de classe (mathématique, historique, didactique et épistémologique).

• Pratiquer l’évaluation des compétences mathématiques


• Sélectionner des outils didactiques susceptibles d’aider l’enseignant dans sa pratique

��

��

Programme

• Conception et réalisation de séquences d’enseignement en classe
• Analyse critique de l’activité après le passage en classe
• Utilisation d’une calculatrice graphique (TI-V200) et d’un logiciel de géométrie (Cabri Géomètre ; Geogebra) en classe
• Correction d’un devoir en classe et élaboration d’un corrigé modèle
• Analyse d’erreurs d’élèves
• Examen critique de manuels
• Examen critique de pratiques courantes
• Obstacles et facilitateurs de la transposition didactique
• Rédaction d’un devoir en classe à l’aide du traitement de texte Word

• Engagement régulier


• Elaboration d’un portfolio


• Présentation du portfolio

�����ٳ�é�����ٳܰ�����

• Portfolio personnel��


• Bibliographie complétée progressivement et recherche personnelle��


• Lectures conseillées : « Maths », (2004) André Deledicq, La petite encyclopédie collège et lycée, Editions de la Cité/SEJER��

• Course title: Experimental Physics 3 : Modern physics
• Number of ECTS: 6
• Course code: BA_PHYS_GEN-12
• Module(s): Module 3.3. (choisir au moins 6 ECTS)
• Language: EN
• Mandatory: No

The course on modern physics describes the new physics, that was developed in the first half of the 20th century. As an experimental course, we will emphasise the experimental evidence that triggered the development of modern physics. The course lays the foundations for the rigorous treatment of quantum mechanics in the 4th semester.
The course aims to clarify the fact, that physics is a science in evolution, where new observations may lead to completely new theories.

Students will��
-understand the challenges for classical physics and how they led to the development of the theory of special relativity and of quantum mechanics
-understand the basic laws and principles of special relativity and of quantum mechanics, in particular, where they are counter-intuitive with respect to everyday experience
-deal confidently with the laws and principles of basic atomic physics
-can apply these laws to unknown problems

1. Einstein’s trains and elevators – relativity��
2. Particles and waves – quantisation and uncertainty
3. An introduction to quantum mechanics – Schrödinger’s equation
4. Atomic physics – the periodic system of elements
5. A short introduction to molecular physics

Task 1: written midterm exam

��
Task 2: oral final exam
��
Assessment rules:
task 1:�� first part: no resources, second part: any paper resource allowed, no devices that can connect to the internet
At least 6/20 points from task1 are necessary to participate in task 2
task 2: QA, no detailed calculations or derivations
��
Assessment criteria:
task 1: 6/20 points is prerequisite for final exam
weight for final grade: 1/3
task 2: weight for final grade: 2/3
��
Retake exam – rules:
new oral exam.
final grade: 1/3 midterm of previous semester + 2/3 new oral exam

Copies of the slides available on Moodle
Books:
Paul Tipler, Ralph Llewellyn “Modern Physics” (in English and German)
Randy Harris “Modern Physics”
Stephen Thornton, Andrew Rex “Modern Physics for Scientists and Engineers”
“The Feynman lectures on physics” (in English, French and German)��
https://feynmanlectures.caltech.edu��
Harris Benson “Physique” 3 (in English and French)
Wolfgang Demtröder “Experimentalphysik” (in German)

• Course title: Mathématiques expérimentales 2
• Number of ECTS: 4
• Course code: BA_MATH_GEN-33
• Module(s): Module 3.3. (choisir au moins 6 ECTS)
• Language: FR, EN, DE
• Mandatory: No

Learn and use in a practical context mathematical notions beyond the content of other courses. Develop programming skills. Discover a research-oriented aspect of mathematics and participate in research projects.��
��

Students who have successfully followed this course will have learned and been able to use in a practical context mathematical notions beyond the content of other courses. They will have developed their programming skills, and discovered a research-oriented aspect of mathematics and, in some cases, participated in research projects.

We are all accustomed to the idea of experiments in physics, chemistry or biology. But mathematics can be done at an equally experimental level, often using computational methods. This applies to statistics, algebra, analysis, geometry, and other flavours of mathematics, and includes��
visualising complex mathematical objects,
using computers to work with examples that go beyond what is possible using pen and paper,
finding patterns in complicated data.
Even in highly abstract areas of mathematics the value of experimentation has increased dramatically in recent years, with computers, programming languages and computer algebra systems getting stronger and easier to use.��
This course allows students to participate in a research like project in an area of experimental mathematics. The students work in small groups under the guidance of a researcher of the Department of Mathematics. They produce a project report (a pdf document) and other material (such as images, videos, code, data), depending on the project. Finally, they also present their work in a small presentation during the exam period.

The students are evaluated on the project report and the additional material they produced, on a midterm report, their performance during the semester, and the final presentation.
In justified cases, it is possible to propose different marks for different students working in the same group.
Retake exam��
If a project is failed, a new project should be done in the next or a later semester. The project group, the topic and the supervisor(s) can change.
Absence plan��
In the case of a justified absence from the final project presentation, a separate presentation will be proposed as close to the originally planned date as possible.

The literature will be provided by the supervisor for each group.

• Course title: Algorithms and Complexity
• Number of ECTS: 4
• Course code: F1_BAINFOR-21
• Module(s): Module 3.3. (choisir au moins 6 ECTS)
• Language: EN
• Mandatory: No

This course presents the following topics:
a) basic concepts from theory of algorithms, algorithms design strategies, and computational models where to reason about correctness and complexity.
b) fundamental algorithms and data structures (e.g., lists, trees, and graphs) required to solve classical problems, such as searching and sorting.
c) introduction to computational complexity of algorithms, and to the technique of analysis of complexity of the algorithms (e.g., recurrence equations)
b) introduction to theory of problem complexity.

Upon completion of this course the student should be able to:
– design and analyse an algorithm for a given problem
– evaluate the computational complexity of an algorithm
– reason about the correctness of an algorithm
– classify an algorithm according to the basic approach it uses

– Algorithms, and complexity, upper and lower bounds
– Elementary data structures:�� lists, stacks, queue, sets
– Advanced data structures: trees and graphs
– Basic Algorithms
Sorting
Searching
Hashing��
Problems and algorithms on trees
Problems and algorithms on graphs��
– Complexity theory: P, NP, NP completeness
– Algorithm on secondary memory

Assessment modality:�� ��Combined assessment
Assessment tasks
Task 1: Written final exam (70%)
Grading scheme: 20 points (0-20)
Objectives: Test the student’s understanding of the course material.
Assessment rules: The student has to answer questions with pencil and paper. This is a closed-book exam. No cheat sheet allowed.
Assessment criteria: The student must answer the stipulated questions in a way that clearly demonstrates understanding of underlying concepts.
Task 2: Active participation – 6 Quizzes in Class (20%)
Grading scheme: 20 points (0-20)
Objectives: To track and test the student’s understanding for each topic.
Assessment rules: The student must answer questions with pen/pencil. Each quiz will be 10 minutes. No cheat sheet allowed.
Assessment criteria: The student must answer the stipulated questions in a way that clearly demonstrates understanding of underlying concepts.
Task 3: Take-home assignment – 2 Assignments (10%)
Grading scheme: 20 points (0-20)
Objectives: Check the abilities of the students in analytic thinking and in group collaboration
Assessment rules: The assignments are group based. For each assignment there will be a weekly track where each member must write his/her related task in this worksheet.��
Assessment criteria: Students must be separated into several groups. Evaluation will be individual.
Task 4: Written exam – RETAKE (100%)
Grading scheme: 20 points (0-20)
Objectives: Test the student’s understanding of the course material
Assessment rules: The student has to answer questions with pencil and paper. This is a closed-book exam. No cheat sheet allowed.
Assessment criteria: The student must answer the stipulated questions in a way that clearly demonstrates understanding of underlying concepts.

Course materials

������������ܲ�☒Y���☐N��
Remarks:Available on Moodle.
Literature list☐Yes☒No
Remarks:
Moodle page☒Yes☐No
Remarks:https://moodle.uni.lu/course/view.php?id=3331��

• Course title: Introduction à la théorie des graphes
• Number of ECTS: 3
• Course code: BA_MATH_GEN-40
• Module(s): Module 4.2-a (choisir au moins 13 ECTS dans le 4.2, dont au moins 8 dans le 4.2-a)
• Language: FR
• Mandatory: No

Au travers de la présentation de différents sujets, le cours est une introduction autonome à la théorie des graphes et à ses applications.

Les étudiant·e·s qui réussissent l’évaluation seront capables de��

• Expliquer les problèmes de base de la théorie des graphes et les différentes approches pour les résoudre,


• Prouver des résultats classiques en théorie des graphes (par exemple, la caractérisation des graphes eulériens, la formule d’Euleur pour les graphes planaires, le théorème de Chvatal pour les graphes Hamiltonien, le théorème des cinq couleurs…)��


• Appliquer des outils classiques de la théorie des graphes pour résoudre certains problèmes : construire des sous-graphes couvrant de poids minimum, rechercher des chemins les plus courts (problème du GPS)…��

• Graphes, graphes dirigés, multi-graphes, représentations matricielles et applications
• Connectivité, recherche de plus courts chemins, coupes, graphes hamiltioniens
• Arbres, sous-arbres couvrants, nombre de sous-arbres couvrants
• Graphes planaires, formule d’Euler
• Problèmes de coloriage de graphes.

Examen de fin de semestre écrit et/ou oral.��

• Course title: Analyse fonctionnelle
• Number of ECTS: 5
• Course code: BA_MATH_GEN-35
• Module(s): Module 4.2-a (choisir au moins 13 ECTS dans le 4.2, dont au moins 8 dans le 4.2-a)
• Language: EN
• Mandatory: No

1. Become familiar with the basic results in functional analysis��


2. Learn how to use the main abstract tricks and strategies in order to prove such statements��


3. Appreciate the power of abstraction in pure and applied mathematics��


4. Understand the connection between seemingly unrelated mathematical disciplines��

��

��

Etre capable d’utiliser les espaces de fonctions pour résoudre des problèmes d’analyse

The course will cover the following topics:

1. Banach spaces and bounded linear functionals.
2. Hanh-Banach theorem and Baire Category theorem.
3. ����ͷ��form boundedness principle. Open mapping theorem. Closed graph theorem.
4. Unbounded linear operators.
5. Issues of classical compactness. Weak topology. Weak* topology.
6. Reflexive and separable spaces.
7. Lp spaces (reflexivity, separability, duality, strong compactness).
8. Hilbert spaces and their duals. Theorems of Stampacchia and Lax-Milgram. Hilbert sums. Orthonormal bases.
9. Compact operators. Riesz-Fredholm theory. Spectrum.
   

��

Final exam with written and oral components

Retake:
the retake is a written exam (2 hours).

��

Notes – Literatur

��

Exercises and examples will be uploaded on Moodle.

• Main: Functional analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, H. Brezis.


• Supplementary: Elementary functional analysis, B. MacCluer.
  

��

• Course title: Analyse numérique
• Number of ECTS: 5
• Course code: BA_MATH_GEN-38
• Module(s): Module 4.2-a (choisir au moins 13 ECTS dans le 4.2, dont au moins 8 dans le 4.2-a)
• Language: FR, EN
• Mandatory: No

Au terme du cours, l’étudiant doit être à même de :

• comprendre le rôle central de l’analyse numérique dans les sciences mathématiques pures et appliquées


• maîtriser les notions et les algorithmes fondamentaux de l’analyse numérique (approximation de fonctions, résolution d’équations, calcul approchés d’intégrales…)


• acquérir un raisonnement rigoureux et systématique, indispensable à l’analyse et à l’interprétation des objets étudiés en analyse numérique


• formuler et résoudre mathématiquement certains problèmes numériques modélisables au moyen de l’analyse mathématique et de l’algèbre linéaire.

Normes d’opérateursApproximation polynomialeRésolution d’équations non linéairesRésolution numérique de systèmes linéairesIntégration numérique��

examen écrit en fin de semestre

Retake: Examen écrit

Support / Arbeitsunterlagen / Support��:

Notes de cours et slides (disponibles sur Moodle)

��

• Course title: Compléments de probabilités et statistiques
• Number of ECTS: 3
• Course code: BA_MATH_GEN-26
• Module(s): Module 4.2-a (choisir au moins 13 ECTS dans le 4.2, dont au moins 8 dans le 4.2-a)
• Language: EN
• Mandatory: No

Preparation for advanced courses in probability and statistics.

��

Compare different notions of convergence (convergence in distribution, almost sure convergence, etc.)
Translate different notions of convergence into each other and use their stability under continuous function application
Use the interplay of these convergence concepts to prove the strong law of large numbers
Use Moment Generating functions to proof the Central Limit Theorem
Get introduced to Large Deviation Theory (Cramer’s theorem)
Use concentration inequalities (Hoeffding’s inequality)

Probabilistic convergence concepts and their relation, Borel Cantelli, Strong Law of Large Numbers, Moment generating functions, Central Limit Theorem, Crámer’s theorem and Hoeffding’s inequality.

To be announced depending on the size of the course

Retake: oral exam

Literature

Anton Thalmaier (2021). Compléments de probabilités et statistique (Lecture notes).

• Course title: Courbes algébriques
• Number of ECTS: 5
• Course code: BA_MATH_GEN-36
• Module(s): Module 4.2-a (choisir au moins 13 ECTS dans le 4.2, dont au moins 8 dans le 4.2-a)
• Language: EN
• Mandatory: No

Introduction to the theory of algebraic curves over arbitrary fields, in particular also over finite fields. Of particular interest will be the theory of elliptic curves due to its relations to cryptography.

On successful completion of this course the student should be able to :

• demonstrate the knowledge of the notion of an algebraic curve


• demonstrate the special properties for curves over finite fields


• master the basic technique of the theory


• identify the most important examples


• independently apply the required techniques to explicitly given situations.

1. Introduction
2. Affine varieties and curves
3. projective curves
4. quadrics
5. Elliptic Curves
6. Complex tori and elliptic curves
7. The group law on elliptic curves
8. Affine coordinate ring
9. Projective coordinate ring

Written examination.

Lecture notes for the course, tutorial questions and solutions are all available to the students via the moodle.

• Course title: Géométrie des courbes et des surfaces
• Number of ECTS: 5
• Course code: BA_MATH_GEN-25
• Module(s): Module 4.2-a (choisir au moins 13 ECTS dans le 4.2, dont au moins 8 dans le 4.2-a)
• Language: FR, EN
• Mandatory: No

Ce cours a pour but d’étudier les courbes (dans le plan et dans l’espace) et les surfaces plongées dans l’espace euclidien.��

1. Généralités sur les courbes paramétrées : longueurs, angles, courbes régulières, champs de vecteurs��
2. Courbes en dimension 3 : repère de Frenet, courbure, torsion��
3. Courbes en dimension 2, courbure orientée, courbes de Bézier, inégalité isopérimétrique��
4. Surfaces : espace tangent, première forme fondamentale, longueurs de courbes, deuxième forme fondamentale et notions de courbures

1st take:

The grade is calculated from 6-7 quizzes throughout the semester, together with a midterm and a final exam.��

Retake:

Oral exam to replace the quizzes + midterm and then a written exam to replace the final exam.

�����ٳ�é�����ٳܰ��� / Literatur / Literature��

Reprise dans le syllabus – quatre titres

• Course title: Number theory and cryptography
• Number of ECTS: 5
• Course code: BA_MATH_GEN-34
• Module(s): Module 4.2-a (choisir au moins 13 ECTS dans le 4.2, dont au moins 8 dans le 4.2-a)
• Language: EN, FR
• Mandatory: No

Recently (and not so recently) number theory has found unexpected applications in cryptography, and nowadays everyone uses it on a daily basis (without realising it) when paying electronically or using the internet.
The course will introduce the students to some basic aspects of number theory, most importantly the theory of elliptic curves over finite fields. We will use the group law for elliptic curves (and other number-theoretic methods) to discuss modern ciphers, such as RSA, Diffie-Hellman, El Gamal, …

The student will
understand basic number-theoretic objects
be able to illustrate their properties with examples
understand the group law on an elliptic curve
be able to apply the different ciphers discussed in the course in simplified settings

��

The course will cover the following subjects
elementary aspects of number theory
finite fields
elliptic curves over finite fields
RSA encryption
El Gamal
Diffie–Hellman

Written final exam. Weekly exercises will also be evaluated.

Retake: Written exam

Course notes and exercise sheets on Moodle.

* Neal Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography, Springer.
* S.C. Coutinho, The Mathematics of Ciphers: Number Theory and RSA Cryptography, A. K. Peters.
* Douglas R. Stinson, Cryptography: theory and practice, Chapman and Hall.
* Paul Garrett, Making, Breaking Codes: Introduction to Cryptology.
* Michael Rosing, Implementing elliptic curve cryptography, Greenwich: Manning.
* A. J. Menezes, Elliptic curve public key cryptosystems, Boston: Kluwer Academic Publishers��

• Course title: Analyse complexe
• Number of ECTS: 5
• Course code: BA_MATH_GEN-23
• Module(s): Module 4.1
• Language: EN, FR
• Mandatory: Yes

Knowledge of basic notions and techniques in complex analysis

Au terme du cours, l’étudiant doit être à même de :

• comprendre le rôle central de l’analyse complexe dans les sciences mathématiques pures et appliquées


• maîtriser les notions fondamentales de l’analyse complexes (derivation et integration, calcul des résidus…)


• acquérir un raisonnement rigoureux et systématique, indispensable à l’analyse et à l’interprétation des objets étudiés en analyse complexe.

1. Nombres complexes et fonctions complexes
2. Dérivation et integration des fonctions complexes
3. Séries de Taylor et séries de Laurent
4. Calcul des résidus et applications

examen écrit en fin de semestre

Retake: Examen écrit

Notes

Notes de cours et/ou slides (disponibles sur Moodle)

• Course title: Statistiques
• Number of ECTS: 6
• Course code: BA_MATH_GEN-24
• Module(s): Module 4.1
• Language: FR, EN
• Mandatory: Yes

1. Variables aléatoires continues
   Calcul de densités, loi uniforme, loi normale, loi exponentielle, applications.


2. Loi des grands nombres, loi du tout ou rien, lemme de Borel-Cantelli, loi forte des grands nombres, théorème de la limite centrale.


3. Introduction à la statistique
   Echantillonnage, intervalles de confiance, estimation de paramètres, intervalles de confiance, tests d’hypothèses.
   

• Understand and apply standard limit theorems.


• Use basic tools of statistics: Estimation of parameters and testing of hypotheses.

Initiation au calcul des probabilités et à la statistique.

First session
Written exam.

Retake session
Written exam on both theory and exercises. The student can choose whether they wish to keep their midterm exam mark or not.

Note / Literatur

K.L. Chung: A course in probability theory. Harcourt, Brace World, Inc., 1968.
D. Foata et A. Fuchs: Calculs des probabilités. Cours, exercices et problèmes corrigés, Dunod, 1998.
C.M. Grinstead and J.L. Snell: Introduction to probability. American Mathematical Society, 1997.
U. Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Vieweg, 1988.
J.Y. Ouvrard : �ʰ��Dz�������������é�� 1, Cassini, 1999.

• Course title: ������è������ 2
• Number of ECTS: 6
• Course code: BA_MATH_GEN-53
• Module(s): Module 4.1
• Language: EN, FR
• Mandatory: Yes

Acquire a solid background in commutative algebra and representation theory.

The student can take further algebraic and geometric courses, which build on the material of this course.

We will develop some aspects commutative algebra and representation theory. This will include

• A further development of rings and ideals
• Modules over rings
• Localization
• Properties of important classes of rings, such as discrete valuation rings and Dedekind domains in commutative algebra, and
• Quivers and their representations
• Representations of groups in representation theory.
  

1st take: Written final exam

Retake: Written exam

Literature

• Atiyah—Macdonald, Introduction to commutative algebra


• Burrow, Representation theory of finite groups


• Schiffler, Quiver representations

• Course title: Didactique des mathématiques 4
• Number of ECTS: 5
• Course code: BA_MATH_GEN-44
• Module(s): Module 4.2-b
• Language: FR
• Mandatory: No

• Sélectionner des outils didactiques susceptibles d’aider l’enseignant dans sa pratique


• S’initier à la pratique en milieu réel


• Planifier et présenter un projet didactique favorisant un apprentissage efficient

• Conception, réalisation et analyse critique d’une leçon complète, puis élaboration d’un devoir en rapport avec la leçon et corrigé de ce devoir
• Analyse du fonctionnement des élèves
• Contenus issus de la recherche actuelle en didactique des mathématiques et mise en œuvre pratique: différenciation, « blended learning »,…
• Approfondissement de thèmes pluridisciplinaires
• Développement d’une activité de recherche

Engagement régulier et élaboration d’un portfolio, présentation du portfolio

Bibliographie complétée progressivement et recherche personnelle

• Course title: Histoire des sciences mathématiques
• Number of ECTS: 3
• Course code: BA_MATH_GEN-39
• Module(s): Module 4.2-b
• Language: FR, DE
• Mandatory: No

Nous allons étudier quelques étapes dans l’histoire des mathématiques. Le prochain cours sera consacré à l’étude de la géométrie dans l’espace. Un évennement décisif en était la découverte de la perspective pendant le 15e siècle. Nous considérons aussi les « Eléments d’Euclide » y compris les constructions à la règle et au compas, la stéreométrie et les corps réguliers (platoniciens). Ainsi nous arriverons à l’histoire de la géométrie moderne en particulier à la fameuse formule d’Euler. On va�� étudier aussi le lien entre la découverte de la perspective et la géométrie projective. Pour terminer on va jeter un coup d’œil à la quatrième dimension.
Wir beginnen mit der Entdeckung der Perspektive im 15. Jh. Dann wenden wir uns den „Elementen“ des Euklid zu. Hier betrachten wir die Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, die Stereometrie und die regulären (Platonischen) Körper. Anschließend kommen wir zur modernen Raumgeometrie, insbesondere zur Formel von Euler. Schließlich möchte ich auf die Zusammenhänge zwischen der Perspektive und der projektiven Geometrie eingehen. Wir warden auch einen Blick in die vierte Dimension werfen.

L’étudiant(e) devra être capable de lire un texte mathématique ancien, d’en déchiffrer les notations et de comprendre la construction de l’objet mathématique dans un contexte très différent de celui qui est le sien aujourd’hui. A travers la confrontation avec des textes originaux, l’étudiant sera sensibilisé à l’historicité des mathématiques et développera une réflexivité sur sa propre discipline. De plus on fait l’expérience que des exemples pris des mathématiques anciennes sont utiles même aujourd’hui par exemple dans l’enseignement.��
Die TeilnehmerInnen können ältere mathematische Texte verstehen und deren Notationen entschlüsseln. Sie gewinnen Zugang zum mathematischen Wissen früherer Zeiten und können dieses mit dem heutigen verbinden. Die Studierenden entwickeln ein Bewusstsein für die historische Bedingtheit der Mathematik und können diese kritisch reflektieren. Zudem erweisen sich Beispiele aus früheren Zeiten auch heute noch als nützlich, z. B. für Unterrichtszwecke.��

Étudier les divers acteurs et leur production mathématique de diverses époques. L’étude des textes originaux permettra de saisir comment se construisent les objets mathématiques. On comprend que les mathématiques modernes sont encore influencées par des modèles anciens – des paradigmes en sont la méthode dite axiomatique-déductive et les constrcutions à la règle et au compas.����
Wir werden verschiedenen Mathematiker aus unterschiedlichen Epochen und ihre mathematische Werke kennenlernen. Das Studium von Originaltexten hilft zu verstehen, wie mathematische Erkenntnisse zustande kommen. Dabei werden wir sehen, wie die moderne Mathematik immer noch stark von alten Vorbildern beeinflusst wird. Paradigmatische Beispiele hierfür liefern die axiomatisch-deduktive Methode und die Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.

Assiduïté en particulier travail sur les problèmes posés et rédaction d’un mémoire personnel ;
aktive Teilnahme insbesondere Bearbeitung von Übungsaufgaben und schriftliche Ausarbeitung.��

Themen für BA-Thesen werden im zentralen Themenpool bekannt gegeben./
Des sujets pour des thèses de BA sont proposés cf. le pool central des thèmes.

Note

Textes et problèmes à travailler déposés sur Moodle��
Die zu bearbeitenden Texte und Aufgaben sind in Moodle zugänglich.��

Literature

Une bibliographie sera déposée sur Moodle .

Voici à titre indicatif quelques titres : Amy Dahan Jeanne Peiffer, Une histoire des mathématiques. Routes et dédales, Points Seuil, Paris, 1986

• Amy Dahan/Jeanne Peiffer, Wege und Irrwege. Eine Geschichte der Mathematik, Birkhäuser, Basel, 1994.��
• Euclide, Les éléments (beaucoup d’éditions numérisées sont disponibles en ligne) – Euklid, Die Elemente (verschiedene Ausgaben sind im Internet zugänglich).

• Course title: Logiciels mathématiques
• Number of ECTS: 3
• Course code: BA_MATH_GEN-13
• Module(s): Module 4.2-b
• Language: EN
• Mandatory: No

The first part of the course will cover the basics of the LaTeX markup language.
We will see how to use it to write a mathematical text, such as lecture notes or a Thesis, and to prepare slides for a presentation.
In the second part we will focus on SageMath and other mathematical software to carry out computations. We will also briefly talk about computational complexity and how to write more efficient code.

The student who completes the course will be able to use the LaTeX markup language to write documents and prepare slide-based presentations and to use SageMath and other mathematical software to carry out computations.

LaTeX [1] is a markup language to write and format documents of any type. It is particularly well-suited for scientific documents, but it can be used for any type of document, including books, CVs and even presentation slides.
It can be used together with a graphical front-end (such as TexMaker, TexStudio, Overleaf…) to immediately see the pdf output. The main advantage over a more classical word processor such as Microsoft Word, besides a much better support for writing mathematical formulas and theorems, is that in LaTeX “What you see is what you mean” [2]: by typing commands instead of visually changing the appearence of the text, the “compiler” will always try to produce an output that is faithful to what the user indicated, so the user does not have to manually adjust the result after every major modification.
SageMath [3] is a free and open-source Mathematical software system which builds on top of many existing: NumPy, SciPy, matplotlib, Sympy, Pari/GP, GAP, R and many more. Thanks to it, all the features all these languages can be accessed from a common python-based interface.
In practice, the SageMath “language” is almost identical to python, but it provides a complete set of libraries to deal with many mathematical objects and computations.

1. https://en.wikipedia.org/wiki/LaTeX
2. https://en.wikipedia.org/wiki/WYSIWYM
3. https://www.sagemath.org/

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The evaluation of the course will be based Quiz and Final project.��

Note

https://doc.sagemath.org/html/en/tutorial/index.html

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• Course title: Mathématiques expérimentales 3
• Number of ECTS: 4
• Course code: BA_MATH_GEN-46
• Module(s): Module 4.2-b
• Language: FR, EN
• Mandatory: No

Learn and use in a practical context mathematical notions beyond the content of other courses. Develop programing skills. Discover a research-oriented aspect of mathematics and participate in research projects.

Students who have successfully followed this unit will have learned and been able to use in a practical context mathematical notions beyond the content of other courses. They will have developed their programing skills, and discovered a research-oriented aspect of mathematics and, in some cases, participated in research projects.

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Les étudiants suivant ce module prendront part, seuls ou en groupes de 2 ou 3, à un projet de mathématiques expérimentales qui comportera une partie importante de programmation sur ordinateur et qui fera appel aux notions mathématiques enseignées jusqu’au semestre 2. L’encadrement est assuré par un enseignant de l’����ͷ��té de Mathématiques. Il n’y aura pas de contrainte horaire particulière pour participer à ce module: un calendrier de suivi sera établi en début de semestre entre l’enseignant et le (les) étudiant(s) concernés.
La liste des projets disponibles peut être consultée sur http://math.uni.lu/eml. Le nombre de places pour participer à ce module étant limité, les étudiants intéressés sont priés de participer à la réunion de présentation qui leur sera proposée, puis de se faire connaitre dans les deux jours qui suivent. S’il y a plus de personnes intéressées que de places disponibles, le seul critère retenu sera l’excellence du dossier.

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L’évaluation consistera en la rédaction d’un mémoire de projet (contenant entre autre le code et son explication, un résumé des mathématiques utilisées, une discussion des résultats expérimentaux obtenus quand c’est le cas, …) et sa défense pendant une soutenance orale.

Retake: un nouveau projet doit etre fait

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Support / Arbeitsunterlagen / Support��:
sera mis à disposition au début du projet
�����ٳ�é�����ٳܰ��� / Literatur / Literature��:
sera communiquée au début du projet

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• Course title: Mathématiques expérimentales 4
• Number of ECTS: 4
• Course code: BA_MATH_GEN-28
• Module(s): Module 5.1
• Language: FR, EN, DE
• Mandatory: No

Learn and use in a practical context mathematical notions beyond the content of other courses. Develop programming skills. Discover a research-oriented aspect of mathematics and participate in research projects.

Students who have successfully followed this course will have learned and been able to use in a practical context mathematical notions beyond the content of other courses. They will have developed their programming skills, and discovered a research-oriented aspect of mathematics and, in some cases, participated in research projects.

We are all accustomed to the idea of experiments in physics, chemistry or biology. But mathematics can be done at an equally experimental level, often using computational methods. This applies to statistics, algebra, analysis, geometry, and other flavours of mathematics, and includes��

visualising complex mathematical objects,
using computers to work with examples that go beyond what is possible using pen and paper,
finding patterns in complicated data.
Even in highly abstract areas of mathematics the value of experimentation has increased dramatically in recent years, with computers, programming languages and computer algebra systems getting stronger and easier to use.��
This course allows students to participate in a research like project in an area of experimental mathematics. The students work in small groups under the guidance of a researcher of the Department of Mathematics. They produce a project report (a pdf document) and other material (such as images, videos, code, data), depending on the project. Finally, they also present their work in a small presentation during the exam period.
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The students are evaluated on the project report and the additional material they produced, on a midterm report, their performance during the semester, and the final presentation.

In justified cases, it is possible to propose different marks for different students working in the same group.
Retake exam��
If a project is failed, a new project should be done in the next or a later semester. The project group, the topic and the supervisor(s) can change.
Absence plan��
In the case of a justified absence from the final project presentation, a separate presentation will be proposed as close to the originally planned date as possible.

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The literature will be provided by the supervisor for each group.

• Course title: Reading course en mathématiques appliquées
• Number of ECTS: 9
• Course code: BA_MATH_GEN-80
• Module(s): Module 5.1
• Language: EN
• Mandatory: No

Theme of this reading course:��Statistical Inference

• Students will understand the foundational principles of statistical learning, including the shift from classical to computer age statistical methods.


• Students will learn key algorithms for data analysis and statistical inference in modern data science.


• Students will explore real-world applications and the importance of empirical evidence in the development of statistical methods.

There will be two groups, one focused on the algorithms and statistical inference methodologies, and the other on the applications and evidence-based data science approaches. Students are required to present the material they read during the group meetings, which will take place every week or every two weeks.

Comments

• The study group will be highly interactive, with students encouraged to discuss their interpretations and insights from the readings.
• Students should collaborate on problem sets and projects to solidify their understanding.

No written exam. Evaluation will be based on participation in group meetings and a final presentation.

Note / Literature / Bibliography
Primary Textbook: “Computer Age Statistical Inference: Algorithms, Evidence, and Data Science” by Trevor Hastie and Bradley Efron.
Additional Resources: Supplementary research papers and online resources will be provided to deepen understanding of specific topics.

• Course title: Reading course en sujets avancés de mathématiques
• Number of ECTS: 9
• Course code: BA_MATH_GEN-81
• Module(s): Module 5.1
• Language: EN
• Mandatory: No

Appreciate entropy as a measure of “chaos”, “randomness” or “information” in various settings, including
– Compression algorithms
– The second law of thermodynamics
– Asymptotic equipartition property (with overwhelming probability every sample is equally unlikely)
– Sanov’s theorem (Large Deviation for measures)
– Conditional Limt theorem (unlikely things happen in the most likely way)

Theme of this reading course: Information theory/entropy

• How to self-study using a book


• Present mathematical topic

The reading course is about information theory/entropy and uses the book “Elements of information theory” by Joy A. Thomas and Thomas M. Cover
We cover chapters 2-5 and 11.

The grade is composed of:
50% for a presentation covering a single section of the book
50% for the oral exam at the end of the semester covering all sections that we cover in this course
Before the oral exam the student has 30 min to solve problems from an exam sheet. In the 20 min oral exam we will then discuss solutions and other topics from the lecture.

Cover, Thomas M., and Joy A. Thomas. Elements of Information Theory. 2nd ed. Wiley Series in Telecommunications and Signal Processing. Wiley-Interscience, 2006.��
https://doi.org/10.1002/047174882X

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• Course title: Reading course en mathématiques pures
• Number of ECTS: 9
• Course code: BA_MATH_GEN-82
• Module(s): Module 5.1
• Language: EN
• Mandatory: No

Develop familiarity with key ideas in differential geometry through the study of curves and surfaces, with emphasis on variational and dynamical aspects.

Theme of this reading course: From Elastic Curves to Willmore Surfaces

The seminar introduces students to selected geometric, topological, dynamical, and variational aspects of differential geometry. Topics may include curvature and differential calculus on curves and surfaces; regular homotopy and the classification of closed surfaces; the Gauss–Bonnet theorem, relating curvature and topology; the evolution of curves under geometric flows (such as vortex filament flow); and variational principles involving length, bending energy, area, and Willmore energy. The exact selection of topics is indicative and may be adapted to reflect the interests of the participants and the pace of the seminar.

The reading seminar is based on the textbook “Differential Geometry: From Elastic Curves to Willmore Surfaces” by Gross and Pinkall. Students will read selected chapters and complete accompanying problem sets. They will present prepared material in regular group meetings (weekly or biweekly). Active participation is expected, including collaboration on problem sets and discussion of interpretations, insights, and proof strategies.

No written exam. Evaluation will be based on active participation in the group meetings and a short presentation, including answers to questions, at the end of the semester.

Pinkall U, Gross O. Differential Geometry: From Elastic Curves to Willmore Surfaces. Springer International Publishing; 2024. doi:10.1007/978-3-031-39838-4

Theme of this reading course: From Elastic Curves to Willmore Surfaces

• Course title: Introduction à la théorie des graphes
• Number of ECTS: 3
• Course code: BA_MATH_GEN-40
• Module(s): Module 6.1-a (choisir au moins 13 ECTS dans le 6.1-a)
• Language: FR
• Mandatory: No

Au travers de la présentation de différents sujets, le cours est une introduction autonome à la théorie des graphes et à ses applications.

Les étudiant·e·s qui réussissent l’évaluation seront capables de��

• Expliquer les problèmes de base de la théorie des graphes et les différentes approches pour les résoudre,


• Prouver des résultats classiques en théorie des graphes (par exemple, la caractérisation des graphes eulériens, la formule d’Euleur pour les graphes planaires, le théorème de Chvatal pour les graphes Hamiltonien, le théorème des cinq couleurs…)��


• Appliquer des outils classiques de la théorie des graphes pour résoudre certains problèmes : construire des sous-graphes couvrant de poids minimum, rechercher des chemins les plus courts (problème du GPS)…��

• Graphes, graphes dirigés, multi-graphes, représentations matricielles et applications
• Connectivité, recherche de plus courts chemins, coupes, graphes hamiltioniens
• Arbres, sous-arbres couvrants, nombre de sous-arbres couvrants
• Graphes planaires, formule d’Euler
• Problèmes de coloriage de graphes.

Examen de fin de semestre écrit et/ou oral.��

• Course title: Analyse fonctionnelle
• Number of ECTS: 5
• Course code: BA_MATH_GEN-35
• Module(s): Module 6.1-a (choisir au moins 13 ECTS dans le 6.1-a)
• Language: EN
• Mandatory: No

1. Become familiar with the basic results in functional analysis��


2. Learn how to use the main abstract tricks and strategies in order to prove such statements��


3. Appreciate the power of abstraction in pure and applied mathematics��


4. Understand the connection between seemingly unrelated mathematical disciplines��

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Etre capable d’utiliser les espaces de fonctions pour résoudre des problèmes d’analyse

The course will cover the following topics:

1. Banach spaces and bounded linear functionals.
2. Hanh-Banach theorem and Baire Category theorem.
3. ����ͷ��form boundedness principle. Open mapping theorem. Closed graph theorem.
4. Unbounded linear operators.
5. Issues of classical compactness. Weak topology. Weak* topology.
6. Reflexive and separable spaces.
7. Lp spaces (reflexivity, separability, duality, strong compactness).
8. Hilbert spaces and their duals. Theorems of Stampacchia and Lax-Milgram. Hilbert sums. Orthonormal bases.
9. Compact operators. Riesz-Fredholm theory. Spectrum.
   

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Final exam with written and oral components

Retake:
the retake is a written exam (2 hours).

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Notes – Literatur

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Exercises and examples will be uploaded on Moodle.

• Main: Functional analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, H. Brezis.


• Supplementary: Elementary functional analysis, B. MacCluer.
  

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• Course title: Analyse numérique
• Number of ECTS: 5
• Course code: BA_MATH_GEN-38
• Module(s): Module 6.1-a (choisir au moins 13 ECTS dans le 6.1-a)
• Language: FR, EN
• Mandatory: No

Au terme du cours, l’étudiant doit être à même de :

• comprendre le rôle central de l’analyse numérique dans les sciences mathématiques pures et appliquées


• maîtriser les notions et les algorithmes fondamentaux de l’analyse numérique (approximation de fonctions, résolution d’équations, calcul approchés d’intégrales…)


• acquérir un raisonnement rigoureux et systématique, indispensable à l’analyse et à l’interprétation des objets étudiés en analyse numérique


• formuler et résoudre mathématiquement certains problèmes numériques modélisables au moyen de l’analyse mathématique et de l’algèbre linéaire.

Normes d’opérateursApproximation polynomialeRésolution d’équations non linéairesRésolution numérique de systèmes linéairesIntégration numérique��

examen écrit en fin de semestre

Retake: Examen écrit

Support / Arbeitsunterlagen / Support��:

Notes de cours et slides (disponibles sur Moodle)

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• Course title: Chaînes de Markov
• Number of ECTS: 3
• Course code: BA_MATH_GEN-49
• Module(s): Module 6.1-a (choisir au moins 13 ECTS dans le 6.1-a)
• Language: EN, FR
• Mandatory: No

By the end of the course, students will have become familiarized with the basic theory of discrete-time Markov chains on countable state spaces, together with an awareness of applications. Students will understand the elementary definitions and theorems about Markov chains, and how these lead to structural properties, stability concepts, stationary distributions and convergence theorems.

Probability spaces, elementary Markov property, transition matrices, initial distributions, Chapman-Kolmogorov equations, hitting times, communication and periodicity, strong Markov property, recurrence and transience, random walks, invariant distributions, convergence to equilibrium, ergodicity.

First take: Oral exam

Retake: Oral exam����(Approx. 20min)

�����ٳ�é�����ٳܰ��� / Literature��

Pierre Brémaud. Markov chains: Gibbs fields, Monte Carlo simulation, and queues, volume 31 of Texts in Applied Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1999.

• David A. Levin and Yuval Peres. Markov chains and mixing times. American Mathematical Society, Providence, RI, 2017


• J. R. Norris. Markov chains, volume 2 of Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge ����ͷ��versity Press, Cambridge, 1998. Reprint of 1997 original.


• Richard Serfozo . Basics of applied stochastic processes. Probability and its Applications (New York). Springer-Verlag, Berlin, 2009.

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• Course title: Courbes algébriques
• Number of ECTS: 5
• Course code: BA_MATH_GEN-36
• Module(s): Module 6.1-a (choisir au moins 13 ECTS dans le 6.1-a)
• Language: EN
• Mandatory: No

Introduction to the theory of algebraic curves over arbitrary fields, in particular also over finite fields. Of particular interest will be the theory of elliptic curves due to its relations to cryptography.

On successful completion of this course the student should be able to :

• demonstrate the knowledge of the notion of an algebraic curve


• demonstrate the special properties for curves over finite fields


• master the basic technique of the theory


• identify the most important examples


• independently apply the required techniques to explicitly given situations.

1. Introduction
2. Affine varieties and curves
3. projective curves
4. quadrics
5. Elliptic Curves
6. Complex tori and elliptic curves
7. The group law on elliptic curves
8. Affine coordinate ring
9. Projective coordinate ring

Written examination.

Lecture notes for the course, tutorial questions and solutions are all available to the students via the moodle.

• Course title: Differential geometry
• Number of ECTS: 5
• Course code: BA_MATH_GEN-48
• Module(s): Module 6.1-a (choisir au moins 13 ECTS dans le 6.1-a)
• Language: EN
• Mandatory: No

The objective is to allow the student to familiarize her/himself with a very active field of mathematics, with broad applications throughout science. A special attention will be put on providing an intuitive understanding of the very concrete ideas that are behind the abstract notions of this subject.

On successful completion of the course, the student should be able to:

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• Explain the main definitions and results of Differential Geometry


• Comment on new concepts


• Apply the new techniques and solve related problems


• Structure the acquired abilities and summarize essential aspects adopting a higher standpoint


• Give a talk for peers or students on a related topic and write scientific texts or lecture notes, observing modern standards in scientific writing, in Didactics and in Pedagogy


• Being ready for more advanced courses (e.g., Riemannian geometry)

1. Nonlinear analysis: immersions, submersions, embeddings, submanifolds in R^n, implicit and inverse function theorems, constant rank theorem, link with classical mechanics.
2. Smooth manifolds: definition, examples, topology.
3. Tangent maps (differential) of smooth maps: smooth maps, tangent and cotangent spaces, tangent map, vector fields.
4. Embedded submanifolds: definition, cartesian and parametric equations, embedded submanifolds versus abstract manifolds, the Whitney embedding theorem, tubular neighborhoods.
5. (Possible additional topics) Transversality, Sard’s theorem and applications. Approximation of continuous functions. Orientability, differential forms and integration. Frobenius theorem….

First take and retake:��

a written part (2hours) and an oral exam (max 45 minutes)

Note

The lecture notes will be uploaded to Moodle

Literature


Main reference

• 
  John M. Lee – Introduction to Smooth manifolds

Other standard references

• 
  Frank W. Warner – Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups


• Michael Spivak – A Comprehensive Introduction to Differential Geometry Vol. 1


• Morris Hirsch – Differential Topology


• Shoshichi Kobayashi Katsumi Nomizu – Foundations of Differential Geometry

• Course title: Measure theory and integration
• Number of ECTS: 6
• Course code: BA_MATH_GEN-47
• Module(s): Module 6.1-a (choisir au moins 13 ECTS dans le 6.1-a)
• Language:
• Mandatory: No

L’objectif de ce cours est de fournir les fondements mathématiques sur lesquels se base l’intégration moderne. Cela inclut l’intégrale par rapport à la mesure de Lebesgue, que l’on utilise en analyse, et l’intégrale par rapport à une mesure abstraite finie qui constitue la base de la théorie moderne des probabilités. Le cours montrera comme cette nouvelle théorie de l’intégration permet de définir une intégrale non seulement plus générale mais aussi plus simple à utiliser. En particulier, nous verrons les grands théorèmes permettant d’intervertir une limite et une intégrale ou d’intervertir deux intégrales.

À l’issue de ce cours, un ou une étudiant(e) devra connaitre les notions de mesure, de tribu, et d’intégrale par rapport à une mesure. Il ou elle devra maitriser l’utilisation des théorèmes fondamentaux comme les théorèmes de convergence monotone, dominée, ainsi que les théorèmes de Fubini-Tonelli et Fubini-Lebesgue. Les étudiants et étudiantes devront être en mesure d’étudier la continuité et la dérivabilité d’une intégrale dépendant d’un paramètre et de comprendre les liens qui unissent la théorie de l’intégration abstraite et celle des probabilités modernes.

Le programme du cours est le suivant :

1. Espace mesuré
2. Fonctions mesurables
3. Intégration par rapport à une mesure
4. Intégrale dépendant d’un paramètre
5. Mesure produit
6. Fondement de la théorie des probabilités.

First session

There will be two exams for this class: a partial exam and a final exam. Both of them will last two hours. Zero document is allowed for these two exams.��
The final mark will be given by the following formula:��
max{final exam,60%*final exam +40%*partial exam}

Retake session

2 hours written exam

Note / Literature / Bibliography

P. Cannarsa and T. D’Aprile. Introduction to measure theory and functional analysis. Vol. 89. Springer, 2015.

• Course title: Number theory and cryptography
• Number of ECTS: 5
• Course code: BA_MATH_GEN-34
• Module(s): Module 6.1-a (choisir au moins 13 ECTS dans le 6.1-a)
• Language: EN, FR
• Mandatory: No

Recently (and not so recently) number theory has found unexpected applications in cryptography, and nowadays everyone uses it on a daily basis (without realising it) when paying electronically or using the internet.
The course will introduce the students to some basic aspects of number theory, most importantly the theory of elliptic curves over finite fields. We will use the group law for elliptic curves (and other number-theoretic methods) to discuss modern ciphers, such as RSA, Diffie-Hellman, El Gamal, …

The student will
understand basic number-theoretic objects
be able to illustrate their properties with examples
understand the group law on an elliptic curve
be able to apply the different ciphers discussed in the course in simplified settings

��

The course will cover the following subjects
elementary aspects of number theory
finite fields
elliptic curves over finite fields
RSA encryption
El Gamal
Diffie–Hellman

Written final exam. Weekly exercises will also be evaluated.

Retake: Written exam

Course notes and exercise sheets on Moodle.

* Neal Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography, Springer.
* S.C. Coutinho, The Mathematics of Ciphers: Number Theory and RSA Cryptography, A. K. Peters.
* Douglas R. Stinson, Cryptography: theory and practice, Chapman and Hall.
* Paul Garrett, Making, Breaking Codes: Introduction to Cryptology.
* Michael Rosing, Implementing elliptic curve cryptography, Greenwich: Manning.
* A. J. Menezes, Elliptic curve public key cryptosystems, Boston: Kluwer Academic Publishers��

• Course title: Didactique des mathématiques 4
• Number of ECTS: 5
• Course code: BA_MATH_GEN-44
• Module(s): Module 6.1-b
• Language: FR
• Mandatory: No

• Sélectionner des outils didactiques susceptibles d’aider l’enseignant dans sa pratique


• S’initier à la pratique en milieu réel


• Planifier et présenter un projet didactique favorisant un apprentissage efficient

• Conception, réalisation et analyse critique d’une leçon complète, puis élaboration d’un devoir en rapport avec la leçon et corrigé de ce devoir
• Analyse du fonctionnement des élèves
• Contenus issus de la recherche actuelle en didactique des mathématiques et mise en œuvre pratique: différenciation, « blended learning »,…
• Approfondissement de thèmes pluridisciplinaires
• Développement d’une activité de recherche

Engagement régulier et élaboration d’un portfolio, présentation du portfolio

Bibliographie complétée progressivement et recherche personnelle

• Course title: Histoire des sciences mathématiques
• Number of ECTS: 3
• Course code: BA_MATH_GEN-39
• Module(s): Module 6.1-b
• Language: FR, DE
• Mandatory: No

Nous allons étudier quelques étapes dans l’histoire des mathématiques. Le prochain cours sera consacré à l’étude de la géométrie dans l’espace. Un évennement décisif en était la découverte de la perspective pendant le 15e siècle. Nous considérons aussi les « Eléments d’Euclide » y compris les constructions à la règle et au compas, la stéreométrie et les corps réguliers (platoniciens). Ainsi nous arriverons à l’histoire de la géométrie moderne en particulier à la fameuse formule d’Euler. On va�� étudier aussi le lien entre la découverte de la perspective et la géométrie projective. Pour terminer on va jeter un coup d’œil à la quatrième dimension.
Wir beginnen mit der Entdeckung der Perspektive im 15. Jh. Dann wenden wir uns den „Elementen“ des Euklid zu. Hier betrachten wir die Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, die Stereometrie und die regulären (Platonischen) Körper. Anschließend kommen wir zur modernen Raumgeometrie, insbesondere zur Formel von Euler. Schließlich möchte ich auf die Zusammenhänge zwischen der Perspektive und der projektiven Geometrie eingehen. Wir warden auch einen Blick in die vierte Dimension werfen.

L’étudiant(e) devra être capable de lire un texte mathématique ancien, d’en déchiffrer les notations et de comprendre la construction de l’objet mathématique dans un contexte très différent de celui qui est le sien aujourd’hui. A travers la confrontation avec des textes originaux, l’étudiant sera sensibilisé à l’historicité des mathématiques et développera une réflexivité sur sa propre discipline. De plus on fait l’expérience que des exemples pris des mathématiques anciennes sont utiles même aujourd’hui par exemple dans l’enseignement.��
Die TeilnehmerInnen können ältere mathematische Texte verstehen und deren Notationen entschlüsseln. Sie gewinnen Zugang zum mathematischen Wissen früherer Zeiten und können dieses mit dem heutigen verbinden. Die Studierenden entwickeln ein Bewusstsein für die historische Bedingtheit der Mathematik und können diese kritisch reflektieren. Zudem erweisen sich Beispiele aus früheren Zeiten auch heute noch als nützlich, z. B. für Unterrichtszwecke.��

Étudier les divers acteurs et leur production mathématique de diverses époques. L’étude des textes originaux permettra de saisir comment se construisent les objets mathématiques. On comprend que les mathématiques modernes sont encore influencées par des modèles anciens – des paradigmes en sont la méthode dite axiomatique-déductive et les constrcutions à la règle et au compas.����
Wir werden verschiedenen Mathematiker aus unterschiedlichen Epochen und ihre mathematische Werke kennenlernen. Das Studium von Originaltexten hilft zu verstehen, wie mathematische Erkenntnisse zustande kommen. Dabei werden wir sehen, wie die moderne Mathematik immer noch stark von alten Vorbildern beeinflusst wird. Paradigmatische Beispiele hierfür liefern die axiomatisch-deduktive Methode und die Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.

Assiduïté en particulier travail sur les problèmes posés et rédaction d’un mémoire personnel ;
aktive Teilnahme insbesondere Bearbeitung von Übungsaufgaben und schriftliche Ausarbeitung.��

Themen für BA-Thesen werden im zentralen Themenpool bekannt gegeben./
Des sujets pour des thèses de BA sont proposés cf. le pool central des thèmes.

Note

Textes et problèmes à travailler déposés sur Moodle��
Die zu bearbeitenden Texte und Aufgaben sind in Moodle zugänglich.��

Literature

Une bibliographie sera déposée sur Moodle .

Voici à titre indicatif quelques titres : Amy Dahan Jeanne Peiffer, Une histoire des mathématiques. Routes et dédales, Points Seuil, Paris, 1986

• Amy Dahan/Jeanne Peiffer, Wege und Irrwege. Eine Geschichte der Mathematik, Birkhäuser, Basel, 1994.��
• Euclide, Les éléments (beaucoup d’éditions numérisées sont disponibles en ligne) – Euklid, Die Elemente (verschiedene Ausgaben sind im Internet zugänglich).

• Course title: Logiciels mathématiques
• Number of ECTS: 3
• Course code: BA_MATH_GEN-13
• Module(s): Module 6.1-b
• Language: EN
• Mandatory: No

The first part of the course will cover the basics of the LaTeX markup language.
We will see how to use it to write a mathematical text, such as lecture notes or a Thesis, and to prepare slides for a presentation.
In the second part we will focus on SageMath and other mathematical software to carry out computations. We will also briefly talk about computational complexity and how to write more efficient code.

The student who completes the course will be able to use the LaTeX markup language to write documents and prepare slide-based presentations and to use SageMath and other mathematical software to carry out computations.

LaTeX [1] is a markup language to write and format documents of any type. It is particularly well-suited for scientific documents, but it can be used for any type of document, including books, CVs and even presentation slides.
It can be used together with a graphical front-end (such as TexMaker, TexStudio, Overleaf…) to immediately see the pdf output. The main advantage over a more classical word processor such as Microsoft Word, besides a much better support for writing mathematical formulas and theorems, is that in LaTeX “What you see is what you mean” [2]: by typing commands instead of visually changing the appearence of the text, the “compiler” will always try to produce an output that is faithful to what the user indicated, so the user does not have to manually adjust the result after every major modification.
SageMath [3] is a free and open-source Mathematical software system which builds on top of many existing: NumPy, SciPy, matplotlib, Sympy, Pari/GP, GAP, R and many more. Thanks to it, all the features all these languages can be accessed from a common python-based interface.
In practice, the SageMath “language” is almost identical to python, but it provides a complete set of libraries to deal with many mathematical objects and computations.

1. https://en.wikipedia.org/wiki/LaTeX
2. https://en.wikipedia.org/wiki/WYSIWYM
3. https://www.sagemath.org/

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The evaluation of the course will be based Quiz and Final project.��

Note

https://doc.sagemath.org/html/en/tutorial/index.html

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• Course title: Mathématiques expérimentales 3
• Number of ECTS: 4
• Course code: BA_MATH_GEN-46
• Module(s): Module 6.1-b
• Language: FR, EN
• Mandatory: No

Learn and use in a practical context mathematical notions beyond the content of other courses. Develop programing skills. Discover a research-oriented aspect of mathematics and participate in research projects.

Students who have successfully followed this unit will have learned and been able to use in a practical context mathematical notions beyond the content of other courses. They will have developed their programing skills, and discovered a research-oriented aspect of mathematics and, in some cases, participated in research projects.

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Les étudiants suivant ce module prendront part, seuls ou en groupes de 2 ou 3, à un projet de mathématiques expérimentales qui comportera une partie importante de programmation sur ordinateur et qui fera appel aux notions mathématiques enseignées jusqu’au semestre 2. L’encadrement est assuré par un enseignant de l’����ͷ��té de Mathématiques. Il n’y aura pas de contrainte horaire particulière pour participer à ce module: un calendrier de suivi sera établi en début de semestre entre l’enseignant et le (les) étudiant(s) concernés.
La liste des projets disponibles peut être consultée sur http://math.uni.lu/eml. Le nombre de places pour participer à ce module étant limité, les étudiants intéressés sont priés de participer à la réunion de présentation qui leur sera proposée, puis de se faire connaitre dans les deux jours qui suivent. S’il y a plus de personnes intéressées que de places disponibles, le seul critère retenu sera l’excellence du dossier.

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L’évaluation consistera en la rédaction d’un mémoire de projet (contenant entre autre le code et son explication, un résumé des mathématiques utilisées, une discussion des résultats expérimentaux obtenus quand c’est le cas, …) et sa défense pendant une soutenance orale.

Retake: un nouveau projet doit etre fait

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Support / Arbeitsunterlagen / Support��:
sera mis à disposition au début du projet
�����ٳ�é�����ٳܰ��� / Literatur / Literature��:
sera communiquée au début du projet

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• Course title: ��é���Ǿ�����
• Number of ECTS: 12
• Course code: BA_MATH_GEN-50
• Module(s): Module 6.2
• Language: FR, EN
• Mandatory: Yes

Teaching of students to work independently, to get the ability to extract the important information individually, and present his/her ideas in the written form clearly and cleanly.

The students are expected to master a difficult subject which goes beyond the content of teaching at the bachelor level.

Each bachelor project (“mémoire”) is a special case. Bachelor projects involve typically reading, understanding, and explaining in the written form parts of a more advanced book or even a research article, or some other educational/research activity such as computer implementation, vizualisation of mathematical objects, etc. At the end of the semester each student present its work during 15min and then answer to the questions of the committee during 15min.

The bachelor projects have to be submitted before the deadline which is announced to students in the beginning of the corresponding semester. Evaluations are done jointly by all supervisors and members of the DMATH on the basis of the ‘’mémoire‘’�� and of the oral presentation.

Note / Literature / Bibliography is advised by a supervisor.